Принадлежал к мухранской ветви династии Багратиони. Его дед, царь Картли Вахтанг VI, и отец, Бакар, в 1724 году переселились в Россию, где получили во владение подмосковное Всехсвятское и богатое волжское село Лысково (там они хранили крест святой Нины)
После смерти отца в 1750 году он стал неформальным главой всей грузинской эмиграции в России
В юности царевич состоял в Пажеской придворной школе, а затем вступил в Измайловский полк в чине капитан-поручика. Императрица Елизавета Петровна хотела женить его на своей двоюродной сестре Марфе Гендриковой, но этот брак не состоялся по неизвестным причинам
Поддерживал Петра III, из-за чего после переворота 1762 года попал в немилость к Екатерине II
1764 - получил предписание жить не ближе, чем в 100 верстах к Москве
1766 - попытался бежать в Грузию, чтобы вернуть себе престол, и Екатерина использовала это, чтобы избавиться от неугодного ей царевича. Александра Бакаровича лишили офицерского звания и выдали тысячу рублей на дорогу
В Грузии претендент на престол не нашел поддержки. Только в 1782 году он смог поднять мятеж, который был быстро подавлен Ираклием II. Александр бежал в Имерети, позже был схвачен тарковским шамхалом и выдан российским властям за 500 червонцев и золотую табакерку
Царевича поселили в Смоленске: ему было запрещено с кем-либо переписываться, даже в церковь он ходил под конвоем